Simulação, Probabilidade e Craps

quarta-feira, 15 de maio de 20130 comentários



Craps


A simulação é uma área que vem crescendo bastante nos últimos anos devido a diversos fatores como por exemplo os avanços na área de informática, que estão possibilitando implementação de rotinas computacionais cada vez mais complexas, bem como à abrangência de aplicações nas mais distintas áreas da ciência. 

Para se ter uma ideia, só na Estatística, já é possível enumerar uma grande quantidade de situações em que se utiliza métodos de simulação: na inferência bayesiana, com os métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov, na avaliação da capacidade de estimação de parâmetros por um modelo e no cálculo de probabilidades relacionadas a experimentos complexos, apenas para citar alguns exemplos.

O que é mais interessante é que a simulação também aparece em muitas situações práticas como uma alternativa inteligente para resolver problemas quando é complicado "fazer as contas". Vamos ver um exemplo:

Existe um jogo de dados chamado Craps, que consiste no lançamento de dois dados sucessivamente. Se você tira 7 ou 11 na soma das faces logo de primeira, você ganha. Se sair 2, 3 ou 12, você perde. Se sair qualquer outro resultado no primeiro lançamento, o jogo prossegue até que se obtenha um 7 (caso em que você perde) ou até que saia o mesmo número que você tirou na primeira jogada (caso em que 
você ganha).

Esse é um exercício do livro "Probabilidade: um curso em nível intermediário" - Barry R. James em que é pedida a probabilidade de vitória neste jogo. É claro que é possível fazer as contas e obter o resultado exato (que aliás é um excelente exercício de cálculo das probabilidades na minha humilde opinião), mas isso pode ser bem complicado.

Por outro lado, é muito fácil simular uma partida de Craps no computador. Basta traduzir as regras do jogo do português para a linguagem de programação da sua preferência. A cada simulação, tem-se uma vitória ou uma derrota. Basta então fazer muitas simulações (10.000, por exemplo) e contar a proporção de vitórias obtidas, afinal a lei dos grandes números (ou mesmo a nossa intuição) nos diz que essa média tende a ser bastante próxima da proporção real de vitórias.

Segue abaixo o código em R que escrevi para esse problema:


Outro ponto muito interessante é que esse princípio de simular ao invés de calcular probabilidades "no braço" também é usado em modelagem de campeonatos esportivos, como o Brasileirão, por exemplo. 

Mas esse já é assunto para uma próxima postagem...


Ps.: Para os interessados em saber mais sobre algoritmos MCMC citados aqui, vale à pena conferir a mais recente postagem do professor Dani Gamerman em seu blog StatPop:


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